¿Russell entendió los teoremas de incompletitud de Godel? ¿Hay algún escrito de los pensamientos de Russell sobre el teorema de incompletitud de Godel? ¿Existe alguna fuente confiable histórica / biográfica sobre la comprensión de Russell sobre Godel?

Answer 1

Sorprendentemente, hay pocas referencias sobre la reacción de Russell a los teoremas de incompletitud de Gödel (esto puede parecer increíble, pero Russell había dejado de trabajar en la lógica matemática cuando esos teoremas comenzaron a difundirse). Los siguientes son, hasta donde sé, bastante:

En 1959, en Mi desarrollo filosófico , Russell escribió: “En mi introducción al Tractatus , sugerí que, aunque en cualquier idioma dado hay cosas que ese lenguaje no puede expresar, todavía es posible construir un lenguaje de orden superior en el que estas cosas se pueden decir. Habrá, en el nuevo idioma, cosas que no se pueden decir, pero que se pueden decir en el siguiente idioma, y ​​así ad infinitum . Esta sugerencia, que entonces era nueva, ahora se ha convertido en una aceptó el lugar común de la lógica. Se deshace del misticismo de Wittgenstein y, creo, también de los rompecabezas más nuevos presentados por Gödel “.

Puedes juzgar esta cita como quieras. Tenga en cuenta, sin embargo, la similitud entre esta cita y la propia nota de pie de página de Gödel 48a en el documento de 1931 que anuncia sus teoremas de incompletitud: “La verdadera fuente de la incompletitud de todos los sistemas formales de matemáticas se encuentra, como se mostrará en la Parte II de este ensayo, en el hecho de que la formación de tipos cada vez más altos puede continuar en el transfinito (cf. D. Hilbert ‘Über das Unendliche’, Math. Ann. 95, p. 184), mientras que en todos los sistemas formales en La mayoría de los muchos tipos ocurren. Se puede demostrar, es decir, que las proposiciones indecidibles aquí presentadas siempre se vuelven decidibles por la adición de tipos superiores adecuados (por ejemplo, del tipo ω para el sistema P ). Un resultado similar también se aplica al sistema de axiomas de la teoría de conjuntos “. [traducción debida a B. Meltzer]. Entonces, la cita de Russell aquí parece una observación bien hecha, aunque gnómica, acerca de la relación entre los fenómenos de Gödel y la jerarquía de tipos superiores (aunque la descripción de esta observación como una “disposición” de los enigmas de Gödelian me parece confusa).

Sin embargo, esa cita apenas toca el trabajo de Gödel, y de manera tan elíptica, que es difícil sacar conclusiones sólidas. Así que ahora pasemos a la otra fuente que tenemos para la reacción de Russell a los teoremas incompletos.

En 1963, en respuesta a una carta de Leon Henkin en la que pedía comentarios sobre un artículo sobre el lógicismo, Russell escribió: “Hace cincuenta años que trabajé seriamente en lógica matemática y casi el único trabajo que he leído desde esa fecha es el de Gödel. . Me di cuenta, por supuesto, que el trabajo de Gödel es de fundamental importancia, pero me desconcertó. Me alegró que ya no estuviera trabajando en lógica matemática. Si un conjunto dado de axiomas conduce a una contradicción, está claro que al menos uno de los axiomas debe ser falso. ¿Se aplica esto a la aritmética de los escolares y, de ser así, podemos creer algo de lo que nos enseñaron en la juventud? ¿Debemos pensar que 2 + 2 no es 4, sino 4.001? Obviamente, esto no es lo que se pretende. … Observa que nosotros [Russell y Whitehead] fuimos indiferentes a los intentos de probar que nuestros axiomas no podían llevar a contradicciones. En esto Gödel demostró que nos habíamos equivocado. Pero pensé que debía ser imposible probar que cualquier conjunto dado de axiomas no conduce a una contradicción y, por esa razón, había prestado poca atención al trabajo de Hilbert. Además, con la excepción del axioma de reducibilidad que siempre consideré improvisado, todos los demás axiomas me parecieron luminosamente evidentes. No vi cómo alguien podría negar, por ejemplo, que q implica p o q , o que p o q implica q o p. … Si puede dedicar tiempo, me gustaría saber, aproximadamente, cómo, en su opinión, las matemáticas comunes, o, de hecho, cualquier sistema deductivo, se ven afectadas por el trabajo de Gödel “.

Una vez más, puedes hacer de esta cita lo que quieras. Henkin lo interpretó como que Russell malinterpreta los teoremas de incompletitud con el propósito de demostrar una inconsistencia en la aritmética formal, y escribió una carta intentando aclarar esto. Otros han sido más caritativos en su interpretación de Russell aquí. Gödel parece haber alcanzado un término medio, escribiendo en 1973 a Abraham Robinson, después de haber visto una copia de la carta mencionada, “Russell evidentemente malinterpreta mi resultado; sin embargo, lo hace de una manera muy interesante”.

(Dicho esto, Gödel no debe tomarse como una autoridad sobre quién entendió y no entendió los teoremas incompletos; en esa misma carta dirigida a Robinson, Gödel dice más tarde: “En una contradicción, Wittgenstein, en su libro póstumo, avanza de forma completamente trivial. y una interpretación errónea poco interesante “, lo que personalmente considero que no es del todo justo. Sería irrelevante analizar todo aquí, pero creo que Wittgenstein demostró en realidad una comprensión inusualmente perspicaz de la importancia y las ramificaciones de los resultados de Gödel, mucho más allá de lo que él entiende. tradicionalmente se le ha dado crédito (encontrará que Floyd y Putnam también lo están defendiendo aquí), y, de hecho, estuvo más cerca de la marca en su perspectiva sobre los fenómenos de incompletitud que casi todos los demás comentaristas sobre el tema, incluido el propio Gödel. de nuevo, puedes juzgar por ti mismo.)

Sin embargo, lo que sí queda claro en la carta de Russell de 1963 es que el propio Russell sintió cierta duda al discutir el significado del trabajo de Gödel.

Entonces, en general, la evidencia es escasa, pero parece probable que Russell nunca haya logrado una comprensión profunda de los teoremas de incompletitud de Gödel. Pero, si somos caritativos, podemos suponer que esto se debió más a la falta de interés y al esfuerzo invertido en lógica matemática en esa etapa de su vida que a cualquier otra cosa.

Answer 2

Hay una discusión a la inversa, por Goedel de “Russell’s Mathematical Logic” (reimpreso en “Bertrand Russell – una colección de ensayos críticos”, Pears 1972) y es interesante que Goedel tampoco mencione sus propios teoremas a este respecto.

En su ensayo, Goedel sostiene que el trabajo de Russell sufre fatalmente de una descripción insuficientemente precisa de sus fundamentos. También dice que “lo que sorprende a uno en este campo es la actitud profundamente realista de Russell”.

Con respecto al segundo teorema de Goedel, citado por Sridhar Ramesh, Russell dijo que él y Whitehead eran “indiferentes a los intentos de probar” que su sistema era consistente. Para mí, tiene mucho sentido interpretar su comentario sobre 2 + 2 = 4.001 en este sentido. Russell consideró la consistencia de la aritmética como casi evidente. Otro aspecto de su “actitud realista”.

Answer 3

Estoy bastante seguro de que, según lo que leí sobre este tema, Russell no se molestó con la formulación computacional de Godel del teorema, sino solo porque entendió un caso limitado más especializado para su teoría de los tipos, es decir, que puede Siempre extienda una teoría utilizando tipos superiores.

Parte de la conclusión del teorema de Godel en realidad se demostró dentro de la teoría de conjuntos anterior al teorema de Godel, sin usar el método específico que usó Godel (aunque están relacionados), y sin la idea de cuán general es el resultado. Alrededor de 1929 o 1930, las consideraciones de “cardenales inaccesibles” permitieron ver lo siguiente: si tiene un cardenal muy inaccesible, los conjuntos en la jerarquía que son hereditariamente menos que el primer cardenal de este tipo constituyen un modelo para los axiomas de la teoría de conjuntos. .

Al restringirse al submodelo, se ve que en este submodelo, todos los axiomas son verdaderos, excepto que el axioma de cardenales inaccesibles no se cumple, ¡porque el primer inaccesible no está en el modelo! Esto significa que “Existe un cardenal inaccesible” no puede comprobarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, es un axioma independiente, y esto se entendió unos años antes del teorema de Godel, como se describe en el primer capítulo de “El infinito superior” de Kanamori.

La construcción jerárquica del universo de la teoría de conjuntos es análoga a los tipos superiores en la teoría de los tipos. Cuando se le preguntó a Russell sobre el teorema de Godel, respondió con indiferencia que no le había impresionado demasiado, porque sentía que era simplemente una versión más refinada de la idea de que los tipos forman una jerarquía ilimitada. Esta desestimación hace que la gente diga que no tenía ni idea.

No conozco la teoría de los tipos de Russell en absoluto, pero el argumento que dio parecía ser análogo al argumento anterior sobre los cardenales inaccesibles. Cuando un sistema jerárquico tiene un nivel que puede modelar los niveles anteriores, el modelo más simple del nivel anterior no incluye el siguiente nivel, por lo que no puede probar la existencia del siguiente nivel. Esta es una vaga versión anterior al Godel del teorema de incompletitud, vaga solo porque carece del algoritmo preciso del teorema de integridad para producir un modelo a partir de axiomas lógicos, y la idea precisa del teorema de incompletitud que ningún sistema computable de axiomas puede probar. propia consistencia. Pero la visión primitiva está a medio camino, es realmente análoga.

Una de las motivaciones de Godel para probar el teorema, para demostrar que se necesita una jerarquía transfinita de teorías para producir todos los teoremas, no solo de la teoría de conjuntos, sino como él mostró, de la aritmética. Tuvo éxito al demostrar que necesitas una jerarquía, pero en realidad no estableció que esta jerarquía involucrara necesariamente cosas como ordinales innumerables. De hecho, esto no es así.

Así que sospecho que Russell, aunque no siguió los detalles sangrientos de la prueba de Godel, se dio cuenta de que era una versión de la jerarquía de cosas tipográficas, y esto es correcto, y todas sus afirmaciones al respecto provienen de esta realización anterior, en la que se sentía más cómodo con. Parece que no ignoraba que necesitabas subir indefinidamente para completar las matemáticas, probablemente lo entendió en la década de 1920, de la misma manera vaga explicada anteriormente.

La mala interpretación del teorema de Godel aquí va por el otro lado. La gente no aprecia que el teorema de Godel no sea un obstáculo para las matemáticas formalistas como parece a primera vista. Lo que está diciendo es que las iteraciones de las condiciones de consistencia tienen que ir a lo transfinito, es decir, a órdenes infinitos.

Pero como argumenta Turing en 1938, ¡no tienen que pasar por el ordinal de la Iglesia Kleene! Nunca tienen que ser infinitos.

Así que creo que es justo decir que Russell entendió la idea principal del teorema de Godel, pero de una manera diferente, como es natural en su concepción anterior del universo matemático, no en la forma metafísica en que Godel lo entendió, o en la forma computacional que Turing lo entendió en 1938. Creo que Turing lo entendió mejor.

Answer 4

Los matemáticos no tienen problemas para entender la prueba de los Teoremas de Gödel, y comúnmente pueden entender las consecuencias formales de los teoremas, que podemos resumir así: En los sistemas que cumplen con ciertos requisitos, hay declaraciones necesariamente indecidibles, y en particular una declaración formal de la consistencia de un sistema de este tipo que utiliza la numeración Gödel no se puede probar dentro del sistema. Luego podemos discutir formas de lidiar con el conjunto contable de afirmaciones indecibles en cualquier teoría de este tipo. En la teoría de modelos, por ejemplo, podemos hablar de la verdad de tales afirmaciones en modelos particulares de la teoría original, reconociendo que la teoría de modelos en sí tendría las mismas limitaciones en cualquier formalización de primer orden.

De manera similar, para aquellos que son conscientes del teorema de Tarski, que ninguna noción de verdad puede definirse de esta manera, es decir, reducida a una cuestión de aritmética. Si la verdad pudiera aritmizarse, entonces la construcción en el Teorema de Gödel daría lugar a una afirmación que no podría ser ni verdadera ni falsa. Esto daría como resultado una contradicción en cualquier sistema que presupone el principio de Excluded Middle, afirmando que cada declaración debe ser verdadera o falsa.

Fred Fitch, de Yale, elaboró ​​un sistema que no utiliza el medio excluido, en el que uno puede demostrar explícitamente oraciones bastante simples que no son verdaderas o falsas. En particular, la paradoja de Russell sobre el conjunto R de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos da lugar a tales oraciones. Podemos probar de forma trivial una proposición P que declara que R es un miembro de sí mismo si y solo si no es un miembro de sí mismo. Con un axioma medio excluido, esto se traduce inmediatamente en una contradicción, pero sin tal axioma, P no nos da problemas.

Donde casi todos se meten en problemas es tratar de usar los resultados de Gödel en el razonamiento informal sobre otras preguntas en matemáticas y filosofía, especialmente sobre la realidad de las matemáticas. El mayor problema, como en todas las áreas de la filosofía, es probar lo que crees que ya sabes pero no se sabe. Wittgenstein, Russell y el propio Gödel cayeron en esta trampa, cada uno suponiendo que sabía algo sobre la naturaleza de las matemáticas que nadie podía conocer y que podía razonar con éxito sobre nociones que no se pueden definir matemáticamente.

Peano cometió el error más consecuente de este tipo en su prueba de que todos los modelos de los números naturales que obedecen a sus axiomas son isomorfos. La prueba es válida en la lógica de segundo orden, donde es posible utilizar el conjunto incontable de todas las propiedades de los números naturales, o alternativamente todos los subconjuntos de los números naturales. Sin embargo, no se puede llevar a cabo en la lógica de primer orden, que está efectivamente limitada por el teorema de Skolem-Löwenheim a discutir los conjuntos contables de propiedades y subconjuntos que se pueden nombrar. Esto tiene el resultado directo de que podemos usar una combinación hábil de definiciones de segundo orden y métodos de primer orden para crear sistemas alternativos de números, como la aritmética no estándar de Robinson, que conduce al análisis no estándar, y la construcción simultánea de John Horton Conway. de números y juegos, incluidos los números surrealistas. Ambos proporcionan modelos consistentes para infinitos e infinitesimales, y hay muchos otros.

Ciertamente no conozco las respuestas a las preguntas sin respuesta. Solo trato de no ir más allá de lo que realmente sabemos. Es dificil.